Влияние частоты дискретизации на устойчивость цифровой системы автоматического регулирования тока

11.05.2017

Влияние частоты дискретизации на устойчивость цифровой системы автоматического регулирования тока

Системы автоматического регулирования (САР) с широтно-импульсными преобразователями (ШИП) постоянного напряжения находят широкое применение в современной преобразовательной технике.

Системы автоматического регулирования (САР) с широтно-импульсными преобразователями (ШИП) постоянного напряжения находят широкое применение в современной преобразовательной технике.Одной из перспективных областей применения САР с ШИП являются источники тока для нестационарного электролиза.

Непрерывное повышение требований к статическим и динамическим характеристикам таких источников ставит перед теорией САР новые, все усложняющиеся задачи. К ним в первую очередь относятся задачи синтеза и анализа САР.

Основной задачей синтеза САР тока для нестационарного электролиза является обеспечение в нагрузке импульсов тока требуемой формы. При этом выбор конкретной структуры САР и значений ее параметров связан с решением ряда задач анализа САР, в частности, с задачей анализа ее устойчивости. Эта задача сводится к определению в пространстве параметров САР границ областей, в которых обеспечивается нормальный режим ее работы. Нормальным для САР с ШИП является режим установившихся в ней колебаний с периодом, равным периоду коммутации силовых ключей (СК) ШИП.

При эксплуатации САР или ее настройке возможны как незначительные, так и значительные изменения ее параметров, которые могут привести к нарушению ее устойчивости. В результате нарушения устойчивости в САР возникают так называемые особые (ненормальные) режимы ее работы с периодом колебаний, не равным периоду коммутации СК.

Характерными для САР с ШИП особыми режимами работы являются скользящий режим и режим автоколебаний на субгармонических частотах [1, 2].

Современный этап развития преобразовательной техники характеризуется широким внедрением в информационные каналы
САР микроконтроллеров (МК), реализующих цифровые алгоритмы управления. Существующие в настоящее время МК объединяют на одном кристалле практически все устройства сопряжения с объектами регулирования, а именно аналого-цифровые преобразователи (АЦП) и широтно-импульсные модуляторы (ШИМ), необходимые для построения замкнутых САР с ШИП [3].

Аналогичная ситуация складывается и при построении энергетических каналов САР. Современные силовые модули ШИП включает в себя, помимо СК, также формирователи импульсов (ФИ), необходимых для управления СК, и различные датчики для организации обратных связей и реализации функций защиты СК [4]. Здесь также необходимо отметить, что построение САР с ШИП на основе МК позволяет исключить скользящий режим ее работы. Но при этом актуальным остается вопрос об устойчивости такой САР к автоколебаниям на субгармонических частотах.

Объектом исследования в данной работе является цифровая одномодульная САР тока, структурная схема которой приведена на рис.1. САР содержит ШИП и МК. ШИП состоит из ФИ и силового каскада мостового типа на четырех СК (СК1 - СК4) с напряжением питания U на входной диагонали. В выходную диагональ каскада включен датчик тока (ДТ) с коэффициентом передачи К_дт,сглаживающий дроссель с индуктивностью L и резистивный элемент с сопротивлением R , учитывающий активные сопротивления ДТ, нагрузки, обмотки дросселя, внутреннее сопротивление источника напряжения питания силового каскада, а также дифференциальные сопротивления открытых СК.

 

МК включает в себя АЦП1, АЦП2, регулятор тока (РТ) и ШИМ первого рода (ШИМ1). АЦП1 преобразует с некоторой частотой дискретизации f непрерывный сигнал задания U₃ тока нагрузки i(t) в дискретный сигнал U₃ (кТ_д), где Т_д = 1/ /_д - период
дискретизации, к = 0, ¥. АЦП2 синхронно с АЦП1 преобразует непрерывный сигнал ДТ и_дт (t) = КЛ ) в дискретный сигнал ДТ
и_дт (кТ_д). РТ преобразует сигнал ошибки е(кТ_д ) = U3 (кТд)-«д_Т (кТд) в сигнал управления и_у (кТ_д) согласно цифровому пропорционально-интегральному (ПИ) алгоритму управления, заданному следующими разностными уравнениями [5]:

где ип (кТд) и ии (кТд) - пропорциональная и интегральная составляющие сигнала управления и_у ^(кТд⁾; ^Кп и К_и - коэффициенты передачи пропорционального и интегрального каналов РТ соответственно.

На выходе ШИМ1 формируется маломощный сигнал и_ш (t) в виде однополярных импульсов с амплитудой, равной напряжению питания МК U_MK (обычно + 5 В), частотой следования, равной частоте коммутации СК f_K, и длительностью пауз между ними, пропорциональной значениям сигнала управления и_у ^(кТд ⁾ . ^Пр^и этом осуществляется модуляция как фронтов, так и срезов этих импульсов (двухстороння модуляция). ФИ преобразует выходной сигнал ШИМ1 и_ш (t) в импульсы, необходимые для управления СК и обеспечения требуемого закона их коммутации. В данном случае обеспечивается несимметричный закон коммутации так, что выходной сигнал ^ШИП u(t) = и_ш (tр /Пмк есть копия сигнала ШИМ1 и_ш (t), но с амплитудой U.

Сигнал управления и_у (кТ_Д) может принимать на периоде коммутации Т_к = 1/ f_K одно или более значений в зависимости от взаимного соотношения частот /_д и f_K. Далее рассматриваются два случая. В первом случае f = f_K, и сигнал управления и_у (кТ_Д) принимает только одно значение на периоде Т_к. Во втором случае f = 2 f_K, и сигнал управления и_у (кТ_д) принимает два значения на периоде Т_к.

Временные диаграммы работы исследуемой САР в переходном процессе для обоих случаев приведены на рис. 2.

Длительности интервалов времени внутри n -ого периода Т_к, в конце которых формируются срезы и фронты импульсов ШИП u(t), обозначены через t_{с n} и tф _n соответственно. При f = f_K (рис. 2 а) длительности обоих интервалов, как t_c , так и tф _n, пропорциональны значению сигнала управления и_у ^(кТд ⁾ в начале периода Т_к. А при f = 2 f_K (рис. 2 б) длительность интервала t_{c n} пропорциональна значению сигнала управления и_у (кТ_Д) в начале периода T_K, а длительность интервала tф _n -
значению сигнала управления и_у ((к + 1)Т_Д) в середине периода T_K.

Задачей данного исследования является определение в пространстве параметров рассматриваемой САР областей ее устойчивости при f = f и f = 2 f. Для решения поставленной задачи требуется наличие расчетных соотношений, задающих границы указанных областей. Для получения требуемых расчетных соотношений необходимо располагать математическими моделями исследуемой САР.

С точки зрения теории автоматического управления САР с ШИП представляют собой нелинейные дискретные системы. Для
анализа устойчивости таких САР широко применяются различные методы линеаризации нелинейных математических моделей САР с дальнейшим применением теории линейных дискретных или непрерывных систем. Но эти методы имеют ряд существенных ограничений и пригодны лишь при решении локальных задач на различных этапах нелинейного анализа.

Перспективны в этом отношении методы теории бифуркаций и метод точечных отображений [2]. Поставленная задача решается на основе этих методов и сводится к анализу математических моделей исследуемой САР, заданных в виде точечных отображений.

На этапе формирования математических моделей САР приняты следующие допущения. При рассмотрении процессов в ее энергетических каналах каждый СК представлен последовательным соединением идеального ключа и резистивного элемента, учитывающего дифференциальное сопротивление включенного СК. При этом принято, что сопротивления всех СК равны друг другу.

Не учитываются индуктивности и емкости СК, поскольку время затухания переходных процессов, возбуждаемых этими параметрами в моменты переключений СК, составляет незначительную часть периода коммутации СК.

Не учитываются нелинейности сглаживающего дросселя и источника напряжения питания U , а их схемы замещения приняты последовательными.

При рассмотрении процессов в информационных каналах САР принято, что сигнал задания U₃ изменяется в начале периода коммутации СК, а АЦП1 преобразует его в сигнал U3 (кТ_я), а также АЦП2 преобразует сигнал ДТ и_дт (t) в сигнал и_дт ^(kT⁾ , мгновенно.

Разрядности АЦП1, АЦП2 и ШИМ1 приняты бесконечно большими. Не учитывается также нелинейность ДТ и принято, что он безынерционный.

Формирование математических моделей исследуемой САР тока основывается на рассмотрении процессов в ее линейной не-
прерывной части (ЛНЧ), на вход которой подается сигнал ШИП.

T_K в нормальном режиме работы САР можно выделить три следующих интервала времени, внутри которых ее структура остается постоянной:

     1.    пТк < t < пТк + tc,_п, где u(t) = U ;

      ²- ^пТк + ^tc, n <^t <⁽ⁿ+°-^5)tk + %n, ^гд^{е u(t})=⁰;

     3. ⁽ⁿ + ⁰.5)^Tk + ^tф,n <^t <{n + 1^)tK , ^гд^е u{t)= ^U .

На каждом из этих интервалов времени процессы в ЛНЧ, состоящей в данном случае из дросселя с индуктивностью L и резистивного элемента с сопротивлением R , описываются следующим дифференциальным уравнением состояния ЛНЧ

L ^di(t) + Ri(t) = u(t). (2)

Применяя метод припасовывания к решениям уравнения (2)на каждом из этих интервалов, получаем следующее разностное
уравнение состояния ЛНЧ

i((n + 1)Tk)= dТк)(пТк)+(l - d(Tk)+ d(Tk - tc, n)- d(0.5Tk - t_fcn))i , (3)

где d(t) = e^-R/L ; I = U / R - максимально возможное значение тока нагрузки i(t).

Аналогичным образом, рассматривая процессы в РТ на каждом из указанных интервалов и применяя метод припасовывания к
уравнениям ПИ-алгоритма управления (1) с учетом уравнения сигнала ошибки e{kT_a ) = U3 (кТ_я)-и_дт (кТ_я), получаем следующие разностные уравнения:

^ии ⁽⁽ⁿ + ^l)TK ⁾ = ^ии ^(nTK ⁾ + ^Kи ^(U3 ^{- K}дт^i(nTк ⁾⁾ ;

и_у (пТк )= ии (пТк ) + Кп (U₃ - Kдтi(nTк)); (4)

Uy((п + 0.5)Tk) = ии (пТк) + Кп (U₃ - Kдтi(nTк)); (5)

^ии ^((п + ^l)TK ⁾= ^ии ^(пТк ⁾+ ^2KU3 ^- ₍₆₎

- К и Кдт ((l + d (0.5Tk ))(пТк )+(d (o.5Tk - t_c, n )-d (0.5Tk ))l), ^{( )}

^иу ^(nTK ⁾ = ^ии ^(nTK ⁾ + ^Kn ^(U3 ^{- K}дт^i(nTк ⁾⁾ ;

иу ((п + 0.5)Tk ) = ии (пТк ) + (Ки + Кп )U3Кдт X (7)

X ((Ки + Кпd(0.5Tk))(пТк)+ Кп(d(0.5Tk -1,_я)- d(0.5Т_к))l),

где (4) и (5) - уравнение интегральной составляющей и_и (кТ_д) сигнала периода Т_к при /_д = f_K, когда k = n и Т_д = Т_к (рис. 2, а), а (6) и (7) -соответственно при /_д = 2/ , когда k = 2n и Т_д = 0.5Т_к (рис. 2, б).

Исходя из принципа действия ШИМ1, получаем следующие уравнения замыкания САР (уравнения длительностей интервалов

где К_ш = 0.5Тк /U_y,_тах - коэффициент передачи ШИМ1; U_y,_max -максимальное значение сигнала управления и_у (кТ_д), соответствующее насыщению ШИП.

Подставляя уравнения (5) в уравнения (8), получаем уравнения замыкания САР при / = /_к:

to, n = Кш(и_и(пТк) + Кп{и_з - Кд_Т/(пТк)));

t_fcn = °.5Тк - Кш {ии(пТк) + К_п {U3 - К_Дт1{пТ_д ))). (9)

Аналогично, подставляя уравнения (7) в уравнения (8), получаем уравнения замыкания САР при / = 2/_к:

^to, п = ^Кш ^{ии ^{пТк ⁾+ ^Кп ^{Uз ^{- К}дА^пТк ⁾⁾⁾ ; ^ti, п = °.^5Тк ^{- К}ш ^X

X (ии(пТк) + (Ки + Кп)U3Кдт ((Ки + Kd(0.5Тк))(пТк) + Кп(d(0.5Тк - to,п)-d(0.5Т_К)))) ^{( )}

Здесь необходимо отметить, что длительности интервалов t_{o п} и ti _п ограничены «снизу», так как они не могут быть отрицательными, и «сверху», в силу возможности насыщения ШИП. Данноеобстоятельство учитывается следующими неравенствами:

0 < to,п < 0.5Тк; 0 < ti, п < 0.5Тк. (11)

Итак, совокупности выражений (3), (4), (9) и (11) и выражений (3), (6), (10) и (11) являются математическими моделями ис-
следуемой САР соответственно при /_д = /_к и / = 2/_к и представляют собой нелинейные двумерные отображения первого порядка.

Дальнейший анализ устойчивости рассматриваемой САР сводится к анализу устойчивости однократной неподвижной
точки ее отображения, которая соответствует нормальному режиму ее работы. Для этого необходимы уравнения координат
i_N , и_{и N} , t_{o N} и ti _N этой точки, а также уравнения матрицы Якоби отображения САР.

Матрица Якоби J отображения является некоторой функцией расширенного вектора состояния САР
X(nT_K)=\(nT_K); ии(nT_K); t_c,_я ; t_{fc я}] ^Т и представляет собой следующую матрицу частных производных

J = f (x(nT_K )) = ^{1 2} =_ ^J 2, 1 ^J 2, 2 _

di((n + ^1)T_K⁾/di(^nTK⁾ di((n + ^1)T_K⁾/д^ии (^nT_K⁾

^дии ((ⁿ + ^1)Tk ^)/di(nTK ^{) ди}и ((ⁿ + ^1)Tk ^)/дии ^(nTK )_’

причем уравнения элементов Ji i , Ji 2, J21 и j22 этой матрицы могут быть получены путем дифференцирования, сначала по
^di(nTK^{) ,} затем по ди_и(nT_K), уравнений (3), (4) и (9) при f = f_K и уравнений (3), (6) и (10) при f = 2f_K, соответственно. Этими же уравнениями можно воспользоваться и для вычисления координат неподвижной точки. Для этого в них необходимо произвести следующую замену:

ⁱ⁽⁽ⁿ + ^1)Tk⁾ = ^i(nTK⁾ = ⁱN ; ^ии⁽⁽ⁿ + ^1)Tk⁾ = ^ии^(nTK⁾ = ^ии, N ;

К, n = ^tc, n ; ^/ф, n = ^/ф, N ⁽¹³⁾

далее решить их совместно относительно искомых координат In ,^ии, N , ^с, N ^{и /}ф, N *

Условия устойчивости неподвижной точки отображения САР заключаются в том, чтобы собственные числа 1 и 1₂ матрицы J ,вычисленные в этой точке, т. е. при ^i(nTK ⁾= ⁱN ^{, и}и ^(nTK ⁾ = ^ии, N ^,t_{c п} = tc n и /ф _п = /ф n , были по модулю меньше единицы.

Перед построением границ областей устойчивости САР необходимо провести предварительный ее синтез. Методика синтеза рассматриваемой САР, исходящая из условия обеспечения ее предельного быстродействия при ограниченной частоте f_K, приведена в работе[5].

Рассмотрим границы областей устойчивости САР в пространстве ее параметров U₃, R и К_п . В качестве бифуркационного параметра примем К_п . Расчет его граничного значения К_{п гр}, при котором происходит нарушение устойчивости САР, организован следующим образом. При фиксированных значениях параметров U₃ и R и изменении параметра К_п с определенным шагом на каждом шаге вычисляются координаты неподвижной точки i_N , ы_{ж N} , t_{c N} и _N , элементах матрицы J и ее собственные числа в этой точке до тех пор, пока не нарушится какое-либо из неравенств (14). После этого фиксируется
номер l наибольшего по модулю собственного числа и находится граничное значение К_{п гр} как корень (функция root) относительно К_п следующего нелинейного уравнения

Граничные поверхности областей устойчивости САР, рассчитанные при f = f и f = 2f по уравнению (15) в диапазонах значений параметра U₃ от 1 В до 15 В и параметра R от 0.05 Ом до 0.35 Ом, приведены на рис. 3. Области устойчивости САР располагаются ниже соответствующих поверхностей. Здесь необходимо отметить, что при значениях К_п , больших его граничного значения К_{п, гр} , в указанных диапазонах значений U₃ и R наблюдается классический механизм потери
устойчивости САР, а именно бифуркация удвоения периода колебаний, причем только за счет нарушения второго из неравенств (14).

Исследование микроструктуры полученных граничных поверхностей показывает, что при f = f_K граничное значение К_{п гр} пара-
метра К_п практически не изменяется, а при f = 2 f_K - претерпевает незначительные изменения при изменении параметров U₃ и R относительно их расчетных значений R = 0.25 Ом и U₃ = 10 В. Исследование макроструктуры этих поверхностей показывает, что при f = 2f_K граничное значение К_{п гр} параметра К_п примерно в два раза больше,чем при f = f_K. При этом, как видно из рис. 3, расчетное значение К_п = 1 параметра К_п , полученное в результате синтеза, располагается значительно ниже граничной поверхности при f = f_K, а, следовательно, и ниже граничной поверхности при f = 2f_K.

Таким образом, на основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1.выбор значения коэффициента передачи пропорционального канала регулятора, большего, чем его расчетное значение, по-
лучаемое в результате синтеза по методике, приведенной в работе [5], и меньшего, чем его граничное значение, получаемое в результате анализа, позволяет повысить ее быстродействие, не приводя при этом к возникновению в ней автоколебаний на субгармонических частотах в широких диапазонах возможных изменений сопротивления нагрузки и сигнала задания тока нагрузки относительно их расчетных значений.

2.увеличение частоты дескритизации  аналого-цифровых преобразователей микроконтолера вдвое по отношению к частоте коммутации силовых ключей  ШИП  приводит к значительному расширению устойчивости областей системы,что позволяет повысить быстродействие системы.

Литература

1.Белов Г. А. Динамика импульсных преобразователей. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2001. - 528 с.

2.Глазенко Т. А., Синицын В. А., Толмачев В. А. Сравнительный анализ динамических характеристик транзисторных широтно-импульсных преобразователей // Электротехника. - 1988. - № 3. - С. 70-75.

Теги: частоты, дискретизация, коэффициент передачи, широта диопозона, ШИП, ШИМ
234567 Начало активности (дата): 11.05.2017 11:18:00
234567 Кем создан (ID): 645
234567 Ключевые слова:  частоты, дискретизация, коэффициент передачи, широта диапозона
12354567899